已知定点A(0,1),直线L1:y=-1交y轴于点B,记过点A且与直线L1相切的圆的圆心为点C.1）求动点C的轨迹方程22012-6-422:23提问者：xingfushuicun|10|浏览次数：11次已知定点A(0,1),直线L1:y=-1交y轴于点B,记

Question

已知定点A(0,1),直线L1:y=-1交y轴于点B,记过点A且与直线L1相切的圆的圆心为点C.1）求动点C的轨迹方程 2 2012-6-4 22:23 提问者：xingfushuicun | 10 | 浏览次数：11次
已知定点A(0,1),直线L1:y=-1交y轴于点B,记过点A且与直线L1相切的圆的圆心为点C.
1）求动点C的轨迹方程
2）设倾斜角为α的直线L2过点A,交轨迹E于两点P,Q.交直线L1于点R,若α∈[π/6,π/4]
求|PR|*|QR|的最小值

Answer 1

1).
过点A且与直线L1相切的圆的圆心为点C,设切点为C',则CA=CC',可得知C的轨迹为：以A为焦点,L1为准线的抛物线,其方程为：x^2=4y,
(2).
设直线L2为：y=kx+1 ( k=tanα)
P,Q的坐标分别为：（x1,y1),(x2,y2)
过P、Q分别作准线的垂线,垂足分别为P‘、Q’,
则有|PR|=|PP'|/sinα,|QR|=|QQ'|/sinα
|PP'|=y1+1=x1^2+1, |QQ'|=y2+1=x2^2+1
x^2=4y=4kx+4, x^2-4kx-4=0
显然有相异二实根,x1+x2=4k,x1x2=-4
|PP'||QQ'|=(x1^2+1)(x2^2+1)=(x1x2)^2+x1^2+x2^2+1=(x1x2)^2+(x1+x2)^2-2x1x2+1
=16+16k^2+8+1=25+16k^2
|PR|*|QR|=|PP'||QQ'|/(sinα)^2=(25+16k^2)/(sinα)^2
(sinα)^2=1-(cosα)^2=1-1/[1+(tan)^2]=(tanα)^2/[1+(tanα)^2]=k^2/(1+k^2)
|PR|*|QR|=(25+16k^2)/(sinα)^2
=(1+k^2)(25+16k^2)/k^2
=(25+41k^2++16k^4)/k^2
=25/k^2+41+16k^2
令：g(k)=25/k^2+41+16k^2
g(k)'=-50/k^3+32k
因为 α∈[π/6,π/4],所以 1/√3≤k≤1,
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