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如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N
题目详情
如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据三角形中位线定理得 PQ∥FN,PW∥MN,
∴∠QPW=∠PWF,∠PWF=∠MNF,
∴∠QPW=∠MNF.
同理∠PQW=∠NFM,
∴△FMN∽△QWP;
(2)由于△FMN∽△QWP,故当△QWP是直角三角形时,△FMN也为直角三角形.
作FG⊥AB,则四边形FCBG是正方形,有GB=CF=CD-DF=4,GN=GB-BN=4-x,DM=x,
①当MF⊥FN时,
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°,
∴∠DFM=∠GFN.
∵∠D=∠FGN=90°,
∴△DFM∽△GFN,
∴DF:FG=DM:GN=2:4=1:2,
∴GN=2DM,
∴4-x=2x,
∴x=
;
②当MN⊥FN时,点M与点A重合,点N与点G重合,
∴x=AD=GB=4.
∴当x=4或
时,△QWP为直角三角形,当0≤x<
,
<x<4时,△QWP不为直角三角形.
(3)①当0≤x≤4,即M从D到A运动时,只有当x=4时,MN的值最小,等于2;
②当4<x≤6时,MN2=AM2+AN2=(x-4)2+(6-x)2
=2(x-5)2+2
当x=5时,MN2=2,故MN取得最小值
,
故当x=5时,线段MN最短,MN=
.
∴∠QPW=∠PWF,∠PWF=∠MNF,
∴∠QPW=∠MNF.
同理∠PQW=∠NFM,
∴△FMN∽△QWP;
(2)由于△FMN∽△QWP,故当△QWP是直角三角形时,△FMN也为直角三角形.
作FG⊥AB,则四边形FCBG是正方形,有GB=CF=CD-DF=4,GN=GB-BN=4-x,DM=x,
①当MF⊥FN时,
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°,
∴∠DFM=∠GFN.
∵∠D=∠FGN=90°,
∴△DFM∽△GFN,
∴DF:FG=DM:GN=2:4=1:2,
∴GN=2DM,
∴4-x=2x,
∴x=
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3 |
②当MN⊥FN时,点M与点A重合,点N与点G重合,
∴x=AD=GB=4.
∴当x=4或
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(3)①当0≤x≤4,即M从D到A运动时,只有当x=4时,MN的值最小,等于2;
②当4<x≤6时,MN2=AM2+AN2=(x-4)2+(6-x)2
=2(x-5)2+2
当x=5时,MN2=2,故MN取得最小值
2 |
故当x=5时,线段MN最短,MN=
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看了如图(1),(2)所示,矩形A...的网友还看了以下:
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