数学有一道填空题,在等差数列中,前n项和Sa比另一个等差数列的前n项和Tb等于(2n)比(3n加1),求a5比b7的值

Question

数学有一道填空题,在等差数列中,前n项和Sa比另一个等差数列的前n项和Tb等于(2n)比(3n加1),求a5比b7的值

Answer 1

∵在等差数列中,前n项和Sa比另一个等差数列的前n项和Tb等于(2n)比(3n加1)
∴S[n]/T[n]=2n/(3n+1）
∵a[n]/b[n]=(2n-1)a[n]/{(2n-1)b[n]}=S[2n-1]/T[2n-1]
∴a[5]/b[5]=S[9]/T[9]=18/28=9/14
a[7]/b[7]=S[13]/T[13]=26/40=13/20
∴(a[5]/b[5])(a[7]/b[7])=(a[5]/b[7])(a[7]/b[5])=117/280
设x=a[5]/b[7],y=a[7]/b[5]
则：xy=117/280 【1】
∵(a[5]+a[7])/(b[5]+b[7])=a[6]/b[6]=S[11]/T[11]=22/34=11/17 【2】
∴【2】式左边分子、分母同除以b[5],得：
(a[5]/b[5]+a[7]/b[5])/(1+b[7]/b[5])=(9/14+y)/(1+b[7]/b[5])=11/17
即：b[7]/b[5]=(17/11)(9/14+y)-1 【3】
【2】式左边分子、分母同除以b[7],得：
(a[5]/b[7]+a[7]/b[7])/(b[5]/b[7]+1)=(x+13/20)/(b[5]/b[7]+1)=11/17
即：b[5]/b[7]=(17/11)(x+13/20)-1 【4】
【3】*【4】,得：
{(17/11)(9/14+y)-1}{(17/11)(x+13/20)-1}=1
整理得：7y=10x+2
由【1】式,得：x*7y=117/40
∴x(10x+2)=117/40
400x^2+80x-117=0
(20x-9)(20x+13)=0
∴x=9/20 或者 x=-13/20
即：a[5]/b[7]=9/20 或者 a[5]/b[7]=-13/20