按正规格式写,已知抛物线的顶点坐标M（1,4）,且经过点N（2,3）,与X轴交于A,B两点（A点在B点左侧）与Y轴交于点C （1）求抛物线的解析式和A,B,C三点的坐标 （2）若直线Y=kx+b经过C,M两点,且与X轴

Question

按正规格式写,
已知抛物线的顶点坐标M（1,4）,且经过点N（2,3）,与X轴交于A,B两点（A点在B点左侧）与Y轴交于点C （1）求抛物线的解析式和A,B,C三点的坐标 （2）若直线Y=kx+b经过C,M两点,且与X轴交于D,证明四边形CDAN是平行四边形 （3）点P在抛物线的对称轴X＝1上运动,请探索,在对称轴上是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A,B两点,且与直线CD相切,若存在,求出P点坐标,若不存在,说明理由.

Answer 1

 
（1）抛物线开口方向向下,且顶点M坐标为（1,4）
∴抛物线的解析式为 y= - (x-1)² + 4 ,将y=0代入解析式,求得x=-1和x=3,∴A(-1,0),B(3,0)；将x=0代入解析式,求得y=3,所以C(0,3)
（2）将点C(0,3)和点M(1,4)分别代入直线y=kx+b,求得b=3,k=1
∵直线AN的斜率k'=tan∠NAF=NF/FA=3/3=1=k,∴AN∥DC,又DC=√[(-3)²+3²]=3√2,AN=√（3²+3²）=3√2,即DC=AN
∴四边形DANC是平行四边形
（3）设存在一点P（1,y）满足题设条件
由（2）知,直线CD：y=x+3；根据点到直线的距离公式得圆心P到直线CD的距离d=I-1+y-3 I /√（1²+1²）= Iy-4I / √2；由两点距离公式得P点到B点的距离d'=√[(1-3)²+(y-0)²]=√(4+y²)；
由d=d',得y²+8y-8=0,求得y=±2√6 - 4
∴存在P点能满足题设条件,此时P点的坐标为（1,2√6 - 4）或（1,-2√6 - 4）