刚学欧拉公式,我刚看了百科的证明过程,其中e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……这个应该是泰勒公式吧?可是泰勒公式不是只是在趋近于才近似相等的吗?在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=

Question

刚学欧拉公式,
我刚看了百科的证明过程,其中
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……
这个应该是泰勒公式吧?可是泰勒公式不是只是在趋近于才近似相等的吗?
在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”减加”） e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
是不是打错了?e^±ix展开式里怎么没有i呢?
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!
这个没看懂
那个 趋近于 是说 x趋近于x0
一楼啊,我问的就是欧拉公式.......

Answer 1

确实打错了,奇数项含i,偶数项不含i.
有限项的泰勒级数才是在x趋近于x0时趋近函数值,也不是相等.
而无穷的泰勒级数只要收敛,就是和函数值严格相等的.
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!
这就是三角函数的泰勒级数展开式.
其实欧拉公式的这个证明就是在复数域内把指数函数展开,然后分离实部和虚部,得到两个实的泰勒级数,正好是两个三角函数