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已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3.(1)当n=已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3.
题目详情
已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3.(1)当n=
已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3.
(1)当n=3时,求所有满足条件的三项组成的数列a1、a2、a3;
(2)试求出数列{an}的任一项an与它的前一项an-1间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列{an},使得a2013=-2012?若存在,求出这样的无穷数列{an}的一个通项公式;若不存在,说明理由.
已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3.
(1)当n=3时,求所有满足条件的三项组成的数列a1、a2、a3;
(2)试求出数列{an}的任一项an与它的前一项an-1间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列{an},使得a2013=-2012?若存在,求出这样的无穷数列{an}的一个通项公式;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)当n=1时,a12=a13,由a1≠0得a1=1.(1分)
当n=2时,(1+a2)2=1+a23,由a2≠0得a2=2或a2=-1.
当n=3时,(1+a2+a3)2=1+a23+a33,若a2=2得a3=3或a3=-2;若a2=-1得a3=1;(5分)
综上讨论,满足条件的数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1,1.(6分)
(2)令Sn=a1+a2+…+an,则Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*).
从而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13.(7分)
两式相减,结合an+1≠0,得2Sn=an+12?an+1.(8分)
当n=1时,由(1)知a1=1;
当n≥2时,2an=2(Sn-Sn-1)=(an+12?an+1)?(an2?an),即(an+1+an)(an+1-an-1)=0,
所以an+1=-an或an+1=an+1.(12分)
又a1=1,a2013=-2012,所以无穷数列{an}的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列,从第2013项开始组成首项为-2012,公比为-1的等比数列.
故an=
.(14分)
当n=2时,(1+a2)2=1+a23,由a2≠0得a2=2或a2=-1.
当n=3时,(1+a2+a3)2=1+a23+a33,若a2=2得a3=3或a3=-2;若a2=-1得a3=1;(5分)
综上讨论,满足条件的数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1,1.(6分)
(2)令Sn=a1+a2+…+an,则Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*).
从而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13.(7分)
两式相减,结合an+1≠0,得2Sn=an+12?an+1.(8分)
当n=1时,由(1)知a1=1;
当n≥2时,2an=2(Sn-Sn-1)=(an+12?an+1)?(an2?an),即(an+1+an)(an+1-an-1)=0,
所以an+1=-an或an+1=an+1.(12分)
又a1=1,a2013=-2012,所以无穷数列{an}的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列,从第2013项开始组成首项为-2012,公比为-1的等比数列.
故an=
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