已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）当x∈（12，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）=μ(x)x-a(x>0)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（

Question

已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．
（1）当x∈（(1)/(2)，2）时，求μ（x+log₂x）的取值的集合；
（2）如函数f（x）=(μ(x))/(x)-a(x>0)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；
（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N⁺）上的值域为M_a，集合M_a中的元素个数为a_n，求证：

lin

n→+∞

(an)/(n2+1)=(1)/(2)．

Answer 1

（1）当x∈（(1)/(2)，2）时，（x+log₂x）∈(-(1)/(2)，3)．
∴μ（x+log₂x）的取值的集合为{0，1，2，3}．
（2）当x∈（0，1]时，(μ(x))/(x)=(1)/(x)∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，(μ(x))/(x)=(2)/(x)∈[1，2）；
当x∈（2，3]时，(μ(x))/(x)=(3)/(x)∈[1，(3)/(2)）；…，
当x∈（n-1，n]时，(μ(x))/(x)=(n)/(x)∈[1，(n)/(n-1)）；
函数f（x）=(μ(x))/(x)-a(x>0)有且仅有2个零点，
∴实数a的取值范围是[(3)/(2)，2)．
（3）证明：当x∈（n-1，n]时，μ（x）=n．∴xμ（x）=nx的取值范围是（n²-n，n²]，进而g（x）在x∈（n-1，n]上的函数值的个数为n个．
由于区间（n²-n，n²]与（（n+1）²-（n+1），（n+1）²]没有共同的元素，
∴M_n中元素的个数为1+2+…+n）=(n(n+1))/(2)，可得a_n=(n(n+1))/(2)，

lim

n→∞

(an)/(n2+1)=(1)/(2)．