定义函数fa(x)=4x-(a+1)•2x+a，其中x为自变量，a为常数．（I）若当x∈[0，2]时，函数fa（x）的最小值为一1，求a之值；（II）设全集U=R，集A={x|f3（x）≥fa（0）}，B={x|fa（x）+fa（2-x）=f2（2）}，且

Question

定义函数fa(x)=4x-(a+1)•2x+a，其中x为自变量，a为常数．
（I）若当x∈[0，2]时，函数f_a（x）的最小值为一1，求a之值；
（II）设全集U=R，集A={x|f₃（x）≥f_a（0）}，B={x|f_a（x）+f_a（2-x）=f₂（2）}，且（∁_UA）∩B≠∅中，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）令t=2^x，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，
设φ（t）=t²-（a+1）t+a，t∈[1，4]…（1分）
1°当(a+1)/(2)≤1，即a≤1时，f_min（x）=φ（1）=0，与已知矛盾；…（2分）
2°当1<(a+1)/(2)<4，即1<a<7，fmin(x)=φ((a+1)/(2))=((a+1)/(2))2-((a+1)2)/(2)+a=-1，
解得a=3或a=-1，∵1<a<7，∴a=3；…（3分）
3°当(a+1)/(2)≥4，即a≥7，f_min（x）=φ（4）=16-4a-4+a=1，
解得a=(13)/(3)，但与a≥7矛盾，故舍去…（4分）
综上所述，a之值为3…（5分）
（Ⅱ）∁_UA={x|4^x-4•2^x+3<0}={x|0<x<log₂3}…（6分）
B={x|4^x-（a+1）•2^x+a+4^2-x-（a+1）•2^2-x+a=6}={x|(4x+(16)/(4x))-(a+1)(2x+(4)/(2x))+2a-6=0}．…（7分）
由已知（∁_UA）∩B≠∅即(4x+(16)/(4x))-（a+1）（2x+(4)/(2x)）+2a-6=0在（0，log₂3）内有解，
令t=2x+(4)/(2x)，则t∈[4，5），方程（t²-8）-（a+1）t+2a-6在[4，5）上有解，
也等价于方程a=(t2-t-14)/(t-2)在t∈[4，5）上有解…（9分）
∵h(t)=(t2-t-14)/(t-2)=t+1-(12)/(t-2)在t∈[4，5）上单调递增，…（10分）
∴h（t）∈[-1，2）…（11分）
故所求a的取值范围是[-1，2）…（12分）