（2014•蚌埠三模）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：x24+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N；（Ⅰ）设直线AP、BP的斜率

Question

（2014•蚌埠三模）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：(x2)/(4)+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N；
（Ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k₁，k₂求证：k₁•k₂为定值；
（Ⅱ）求线段MN长的最小值；
（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：(x2)/(4)+y2=1可知，点A（0，1），B（0，-1）．
令P（x₀，y₀），则由题设可知x₀≠0．
∴直线AP的斜率k1＝(y0−1)/(x0)，PB的斜率为k2＝(y0+1)/(x0)．
又点P在椭圆上，所以(x02)/(4)+y02＝1(x0≠0)，从而有k1•k2＝(y0−1)/(x0)•(y0+1)/(x0)＝(y02−1)/(x02)=−(1)/(4)；
（Ⅱ）由题设可得直线AP的方程为y-1=k₁（x-0），
直线PB的方程为y-（-1）=k₂（x-0）．
由

y−1＝k1x

y＝−2

，解得

作业帮用户 2017-10-20 举报

问题解析

（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k₁，k₂，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；
（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；
（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由

QM

•

QN

＝0列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．

考点点评：

本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议