已知椭圆方程为x²+2y²=4,过点P（0,2）交椭圆于M.N两点,是否存在直线l使得以MN为直径的圆过原点过P的直线交椭圆于两点

Question

已知椭圆方程为x²+2y²=4,过点P（0,2）交椭圆于M.N两点,是否存在直线l使得以MN为直径的
圆过原点
过P的直线交椭圆于两点

Answer 1

设直线I的斜率为K,则该直线方程为：y-2=kx
代入椭圆方程,解得：
MN中点坐标：
x0=(x1+x2)/2=-4k/(2k²+1）
y0=(y1+y2)/2=2/(2k²+1)


MN长=√((x1-x2)²+(y1-y2)²)=4√((k²+1)(2k²-1))/(2k²+1)
r=MN/2
则以MN为直径的圆方程为：(x-x0)²+(y-y0)²=r²
因为过原点
x0²+y0²=r²
整理得：
-4(k²-2)/(2k²+1)=0


解得：k=±√2


所以,存在着两条直线,方程分别为：y=√2x+2
                                                           y=-√2x+2