（2014•盐城二模）已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列．（1）若a2=1，a5=3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n

Question

（2014•盐城二模）已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列．
（1）若a₂=1，a₅=3，求a₁的值；
（2）设a₁＜a₂，求证：对任意n∈N^*，且n≥2，都有(an+1)/(an)＜(a2)/(a1)．

Answer 1

（1）由a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，可知a₁，a₂，a₃成等差数列，a₃，a₄，a₅成等差数列，
由a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列，可知a₂，a₃，a₄成等比数列，
则

2＝a1+a3

a32＝a2a4

2a4＝a3+a5

，
又a₂=1，a₅=3，
∴

2＝a1+a3

a32＝a4

2a4＝a3+3

，则2a32＝a3+3，解得a3＝(3)/(2)或a₃=-1（舍），
∴a1＝2−(3)/(2)＝(1)/(2)；
（2）证明：①若n为奇数且n≥3时，则a_n，a_n+1，a_n+2成等差数列，
∵(an+2)/(an+1)−(an+1)/(an)＝

an+2

作业帮用户 2017-10-09 举报

问题解析

（1）在已知条件中，取n为具体值可得a₁，a₂，a₃成等差数列，a₃，a₄，a₅成等差数列，a₂，a₃，a₄成等比数列，由等差中项的概念和等比中项的概念结合a₂=1，a₅=3列式求得a₁的值；
（2）当n为大于等于3的奇数时，由已知可得a_n，a_n+1，a_n+2成等差数列，利用作差法证明(an+2)/(an+1)≤(an+1)/(an)；
当n为大于等于2的偶数时，由已知可得a_n，a_n+1，a_n+2成等比数列，由等比中项的概念可得(an+2)/(an+1)＝(an+1)/(an)，
则有(an+2)/(an+1)≤(an+1)/(an)≤…≤(a3)/(a2)．验证(a3)/(a2)＜(a2)/(a1)后即可得到对任意n∈N^*，且n≥2，都有(an+1)/(an)＜(a2)/(a1)．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评：

本题考查了数列与不等式的综合，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用作差法求证不等式，综合考查了学生的灵活应变能力，属有一定难度的题目．

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