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(2005•荆门)已知:关于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长.(1)k取何值时,方程有两个实数根;(2)当矩形的对角线长为时,求k的值.
题目详情
(2005•荆门)已知:关于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长.
(1)k取何值时,方程有两个实数根;
(2)当矩形的对角线长为时,求k的值.
(1)k取何值时,方程有两个实数根;
(2)当矩形的对角线长为时,求k的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据一元二次方程根的判别式,方程有两个实数根,则判别式△≥0,得出关于k的不等式,求出k的取值范围.
(2)根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程,求出k的值并检验.
【解析】
(1)设方程的两根为x1,x2
则△=[-(k+1)]2-4(k2+1)=2k-3,
∵方程有两个实数根,∴△≥0,
即2k-3≥0,
∴k≥
∴当k≥,方程有两个实数根.
(2)由题意得:,
又∵x12+x22=5,即(x1+x2)2-2x1x2=5,
(k+1)2-2(k2+1)=5,
整理得k2+4k-12=0,
解得k=2或k=-6(舍去),
∴k的值为2.
(2)根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程,求出k的值并检验.
【解析】
(1)设方程的两根为x1,x2
则△=[-(k+1)]2-4(k2+1)=2k-3,
∵方程有两个实数根,∴△≥0,
即2k-3≥0,
∴k≥
∴当k≥,方程有两个实数根.
(2)由题意得:,
又∵x12+x22=5,即(x1+x2)2-2x1x2=5,
(k+1)2-2(k2+1)=5,
整理得k2+4k-12=0,
解得k=2或k=-6(舍去),
∴k的值为2.
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