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(2007•随州)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F.(1)求证:△PFA∽△ABE;(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点
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(2007•随州)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F.
(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.
(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)在△PFA与△ABE中,易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°;故可得△PFA∽△ABE;
(2)根据题意:若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB;必须有PE∥AB;分两种情况进而列出关系式.
(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠PAF=∠AEB.
∵∠PFA=∠ABE=90°,
∴△PFA∽△ABE.
(2)【解析】
若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB.
∴PE∥AB.
∴四边形ABEP为矩形.
∴PA=EB=2,即x=2.
若△PFE∽△ABE,则∠PEF=∠AEB.
∵∠PAF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点.
∵AE==2,
∴EF=AE=.
∵,即,
∴PE=5,即x=5.
∴满足条件的x的值为2或5.
(2)根据题意:若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB;必须有PE∥AB;分两种情况进而列出关系式.
(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠PAF=∠AEB.
∵∠PFA=∠ABE=90°,
∴△PFA∽△ABE.
(2)【解析】
若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB.
∴PE∥AB.
∴四边形ABEP为矩形.
∴PA=EB=2,即x=2.
若△PFE∽△ABE,则∠PEF=∠AEB.
∵∠PAF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点.
∵AE==2,
∴EF=AE=.
∵,即,
∴PE=5,即x=5.
∴满足条件的x的值为2或5.
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