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1、已知关于x的方程x^2+ax+b=0有两个不相等的实根,求证:方程x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0有四个不同的实数根.2、当m是什么整数时,关于x的一元二次方程:mx^2-4X+4=0与x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的解都是整数?
题目详情
1、已知关于x的方程x^2+ax+b=0有两个不相等的实根,求证:方程x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0有四个不同的实数根.
2、当m是什么整数时,关于x的一元二次方程:mx^2-4X+4=0与x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的解都是整数?
2、当m是什么整数时,关于x的一元二次方程:mx^2-4X+4=0与x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的解都是整数?
▼优质解答
答案和解析
第一题会
证:
x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0
x^2+ax+b-2-a/x+(1/x^2)=0
(x-1/x)^2+a(x-1/x)+b=0
令x-1/x=y,代入上式,有:
y^2+ay+b=0
由已知,可得:y有两个不相同的实根,不妨设为y1、y2,
即:x-1/x=y1、或:x-1/x=y2
整理:x^2-(y1)x-1=0,和x^2-(y2)x-1=0
△=(y1)^2+4>0,△=(y2)^2+4>0
因此每个方程均有两个不同的实根
因为y1≠y2,故无重根.
所以,方程x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0有四个互不相等的实数根
证毕.
证:
x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0
x^2+ax+b-2-a/x+(1/x^2)=0
(x-1/x)^2+a(x-1/x)+b=0
令x-1/x=y,代入上式,有:
y^2+ay+b=0
由已知,可得:y有两个不相同的实根,不妨设为y1、y2,
即:x-1/x=y1、或:x-1/x=y2
整理:x^2-(y1)x-1=0,和x^2-(y2)x-1=0
△=(y1)^2+4>0,△=(y2)^2+4>0
因此每个方程均有两个不同的实根
因为y1≠y2,故无重根.
所以,方程x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0有四个互不相等的实数根
证毕.
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