某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/

Question

某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x)，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值．____

Answer 1

【分析】(1)由m=4，且y=m•f(x)，可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4(即y≥4)时，要分区间去求解；
\n(2)由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最佳净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．

(1)因为m=4，所以，
\n所以，当0<x≤4时，x+8≥4显然成立；
\n当x>4时，≥4，得4<x≤8；
\n综上知，0<x≤8；
\n所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．
\n(2)由知，
\n函数f(x)在区间(0，4]上单调递增，则2m<y≤3m；
\n函数f(x)在区间(4，7]上单调递减，则≤y<3m，
\n综上知，≤y≤3m.
\n要使4≤y≤10恒成立，只须≤4，且3m≥10，则m=，
\n所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为．

【点评】本题考查了分段函数模型的灵活应用.利用分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．