对于函数f(x)=(x2-2ax+3)回答下列问题(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围.(2)若函数的值域为R,求实数a的取值范围.(3)若函数在[-1,+∞)内有意义,有实数a的
对于函数f(x)= (x 2 -2ax+3)回答下列问题
(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围.
(2)若函数的值域为R,求实数a的取值范围.
(3)若函数在[-1,+∞)内有意义,有实数a的取值范围.
(4)若函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值.
(5)若函数的值域为(-∞,-1],求实数a的值.
(6)若函数在(-∞,1]内为增函数,求实数a的取值范围.
解析:
热点分析 这是一组概念很深刻的问题,需要熟练运用对数函数与二次函数的性质 热点分析 这是一组概念很深刻的问题,需要熟练运用对数函数与二次函数的性质 解答 记u=g(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2. (1)∵u>0对x∈R恒成立, ∴umin=3-a2>0-<a<, ∴a的取值范围是(-,); (2)这是一个较难理解的问题,从“logax的值域为R”这点思考,“u的值域为R”等价于“u=g(x)能取遍(0,+∞)的一切值”,或理解为“u=g(x)的值域包含了区间(0,+∞)”. ∵u=g(x)的值域为[3-a2,+∞)(0,+∞), ∴命题等价于umin=3-a2≤0a≤-或a≥,∴a的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞); (3)应注意“在[-1,+∞)内有意义”与定义域的概念是不同的, 命题等价于“u=g(x)>0对x∈[-1,+∞)恒成立”,应按g(x)的对称轴x0=a分类, ∴或 或 ∴a的取值范围是(-2,); (4)由定义域的概念知,命题等价于 不等式x2-2ax+3>0的解集为{x|x<1或x>3}, ∴x1=1,x2=3是方程x2-2ax+3=0的两根, ∴a=2,即a的值为2; (5)由对数函数性质易知:g(x)的值域为[2,+∞),由此学生很容易得g(x)≥2,但这是不正确的,因为:“g(x)≥2”与“g(x)的值域为[2,+∞)”并不等价,后者要求g(x)能取遍[2,+∞)的一切值(而且不能多取).因为g(x)的值域是[3-a2,+∞), ∴命题等于[g(x)]min=3-a2=2a=±1, 即a的值为±1; (6)命题等价于:即得a的取值范围是[1,2). 评析 学习函数知识,要非常准确地理解与掌握函数中的每个概念.许多函数的概念都有很深刻的内涵,解决问题时要仔细揣摩,才能作出准确的解答,并要在学习中不断积累经验.
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