如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=22，PD=10，将△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求PP′的长；（2）求∠BPQ的大小．

Question

如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2√(2)，PD=√(10)，将△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．

（1）求PP′的长；
（2）求∠BPQ的大小．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴AP=AP′=1，PD=P′B=√(10)，∠PAP′=∠DAB=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=√(PA2+P′A2)=√(2)；

（2）∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′=45°，
在△PP′B中，PP′=√(2)，PB=2√(2)，P′B=√(10)，
∵（√(2)）²+（2√(2)）²=（√(10)）²，
∴PP′²+PB²=P′B²，
∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，
∴∠BPQ=180°-∠APP′-∠P′PB=180°-45°-90°=45°．