一根自然长度为的弹性线（不计重量），上端固定，下端挂一重物。在铅直平衡时，弹性线的静伸长为d。如从平衡位置再下拉距离c然后放开，则重物绕其平衡位置上下振动。若，试证重物

Question

一根自然长度为的弹性线（不计重量），上端固定，下端挂一重物。在铅直平衡时，弹性线的静伸长为d。如从平衡位置再下拉距离c然后放开，则重物绕其平衡位置上下振动。若，试证重物回到它原来的放开位置所经历的时间应为，这里（θ为锐角）。

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Answer 1

【分析】因为下拉的距离比平衡时下降的距离大，由对称性可知当重物回到B点时的速度不为零。由于绳子只有处于拉伸状态时才会有力产生，所以物体到B点后做竖直上抛运动，达到最高点后做自由落体运动，之后重物在BC之间做简谐运动。
\n对BC段进行研究，由机械能守恒定律可求出重物运动至B点的速度，当然重物上升时不能与固定点相撞，所以由运动学公式可以求出重物在B点时速度的最大值，即可求解下拉距离的最大值，由竖直上抛公式可求出重物自B点上升至落回B点的时间。
\n由平衡位置以及其位移，可求出重物做简谐振动的方程，即可求得重物在BC段运动时间，所以其运动的总时间可求，问题即可得证。

由于c>d，故物体由c处释放后，当它到达原长B点时速度不为零（不计阻力），设为。
\n此后，物体将以作竖直上抛，然后再自由下落而物体在BC段则作简谐振动。
\n取弹性线自然悬挂时的端点B为弹性势能与重力势能的参考位置，根据机械能守恒：
\n　　（）
\n即：
\n　　
\n　　
\n所以：
\n　　
\n若要避免以上抛时与固定点A相碰，则要求：
\n　　即：
\n　　
\n　　
\n物体由B上升并落回B时所需时间为：
\n　　
\n设以平衡位置O为原点，向上为x轴正向，在BC段上物体受到的回复力为：
\nf=-kx。
\n因t=0时，x=-c，初相，故得振动方程：
\n　　x=-c cosωt
\n　　
\n当x=d时，设经历时间，则：
\n　　
\n这里，所以：
\n　　
\n在BC段运动所需时间：
\n　　
\n所以由C点出发再回到C点历时为：
\n　　
\n　　
\n其中：
\n　　

【点评】本题是对简谐运动原理的考查，有学生对简谐运动的对称性不了解，只是认为重物在BC段做简谐运动，而造成错解。实际上由简谐运动的对称性即可知重物在最低点与最高点的加速度大小相等，由力学分析即可。