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设A是方阵,A^k=O对某个正整数k成立,求E+A可逆,并求出它的逆
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设A是方阵,A^k=O对某个正整数k成立,求E+A可逆,并求出它的逆
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答案和解析
因为 (E+A)(E-A+A^2-.+(-1)^(k-1)A^(k-1))
= E-A+A^2-.+(-1)^(k-1)A^(k-1)
+ A-A^2-.+(-1)^(k-1)A^k
= E +(-1)^(k-1)A^k
= E
所以 E+A 可逆,且 (E+A)^-1 = E-A+A^2-.+(-1)^(k-1)A^(k-1)
= E-A+A^2-.+(-1)^(k-1)A^(k-1)
+ A-A^2-.+(-1)^(k-1)A^k
= E +(-1)^(k-1)A^k
= E
所以 E+A 可逆,且 (E+A)^-1 = E-A+A^2-.+(-1)^(k-1)A^(k-1)
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