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已知点O为正方形ABCD的中心,M为射线OD上一动点(M与点O,D不重合),以线段AM为一边作正方形AMEF,连接FD.(1)当点M在线段OD上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系?请
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已知点O为正方形ABCD的中心,M为射线OD上一动点(M与点O,D不重 合),以线段AM为一边作正方形AMEF,连接FD. (1)当点M在线段OD上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系?请判断并直接写出结果; (2)当点M在线段OD的延长线上时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立?请结合图2说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(1)BM=DF,BM⊥DF 理由是:∵四边形ABCD、AMEF是正方形, ∴AF=AM,AD=AB,∠FAM=∠DAB=90°, ∴∠FAM-∠DAM=∠DAB-∠DAM, 即∠FAD=∠MAB, ∵在△FAD和△MAB中
∴△FAD≌△MAB, ∴BM=DF,∠FDA=∠ABD=45°, ∵∠ADB=45°, ∴∠FDB=45°+45°=90°, ∴BM⊥DF, 即BM=DF,BM⊥DF. (2)成立, 理由是:∵四边形ABCD和AMEF均为正方形, ∴AB=AD,AM=AF,∠BAD=∠MAF=90°, ∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM, 即∠FAD=∠MAB, ∵在△FAD和△MAB中
∴△FAD≌△MAB, ∴BM=DF,∠ABM=∠ADF, 由正方形ABCD知,∠ABM=∠ADB=45°, ∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°, 即BM⊥DF, ∴(1)中的结论仍成立. |
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