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如图,已知正方形ABCD,E为BC延长线上的一点,连AE交CD于F,作∠AEG=∠AEB,EG交CD于G,连接AG,作FH⊥AG于H,交AD于I,连DH.(1)求证:GE+GD=BE;(2)连AC,求证:AC-2DF=2HD;(3)若CE=BC,AB=4,
题目详情
如图,已知正方形ABCD,E为BC延长线上的一点,连AE交CD于F,作∠AEG=∠AEB,EG交CD于G,连接AG,作FH⊥AG于H,交AD于I,连DH.
(1)求证:GE+GD=BE;
(2)连AC,求证:AC-
DF=2HD;
(3)若CE=BC,AB=4,求DG的长.
(1)求证:GE+GD=BE;
(2)连AC,求证:AC-
2 |
(3)若CE=BC,AB=4,求DG的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过点A作AJ⊥EG于点J,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,
∵∠AEG=∠AEB,
∴AJ=AB,
∴AJ=AD,
在Rt△AGJ与Rt△AGD中,
,
∴△AGJ≌△AGD(HL),
∴JG=GD.
在Rt△ABE与Rt△AJE中,
,
∴△ABE≌△AJE(HL),
∴EJ=BE,即GE+GD=BE;
(2)证明:延长AD交EG于点M,作HQ⊥AD,HP⊥CD,
∵由(1)知,△AGJ≌△AGD,AD∥BC,
∴∠AMG=2∠CEF,∠JAM=2∠GAM,
∴在△AJM中,2(∠CEF+∠GAM)=90°,
∴∠CEF+∠GAM=45°.
∵AD∥BC,
∴∠CEF=∠DAF,
∴∠CEF+∠GAM=∠DAF+∠GAM=HAF=45°,
∴AH=HF.
∵在△AHI与△DIF中,
∵∠DFI=∠HAI,
∴△FHG∽△ADG,
∴
=
.
∵∠AGD=∠AGD,
∴△GHD∽△GAF,
∴∠HDG=45°.
在等腰直角△HDP与等腰直角△HQD中,
∵PD=HQ=QD=
HD,
∴PF=DF+PD=DF+
HD.
∵
,
∴△AHQ≌△FHP(HL),
∴AQ=DF+
HD,
∴AD=AQ+DQ=DF+
HD+
HD=DF+
HD.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,
∴AC=
AD=
(DF+
HD)=
DF+2HD,
∴AC-
DF=2HD.
(3)设GD=x,则GC=4+x,GE=8-x,CE=4,
在Rt△GCE中,GC2+CE2=GE2,即(4+x)2+42=(8-x)2,
解得x=
,即GD=
.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,
∵∠AEG=∠AEB,
∴AJ=AB,
∴AJ=AD,
在Rt△AGJ与Rt△AGD中,
|
∴△AGJ≌△AGD(HL),
∴JG=GD.
在Rt△ABE与Rt△AJE中,
|
∴△ABE≌△AJE(HL),
∴EJ=BE,即GE+GD=BE;
(2)证明:延长AD交EG于点M,作HQ⊥AD,HP⊥CD,
∵由(1)知,△AGJ≌△AGD,AD∥BC,
∴∠AMG=2∠CEF,∠JAM=2∠GAM,
∴在△AJM中,2(∠CEF+∠GAM)=90°,
∴∠CEF+∠GAM=45°.
∵AD∥BC,
∴∠CEF=∠DAF,
∴∠CEF+∠GAM=∠DAF+∠GAM=HAF=45°,
∴AH=HF.
∵在△AHI与△DIF中,
∵∠DFI=∠HAI,
∴△FHG∽△ADG,
∴
HG |
DG |
FG |
AG |
∵∠AGD=∠AGD,
∴△GHD∽△GAF,
∴∠HDG=45°.
在等腰直角△HDP与等腰直角△HQD中,
∵PD=HQ=QD=
| ||
2 |
∴PF=DF+PD=DF+
| ||
2 |
∵
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∴△AHQ≌△FHP(HL),
∴AQ=DF+
| ||
2 |
∴AD=AQ+DQ=DF+
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∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,
∴AC=
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∴AC-
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(3)设GD=x,则GC=4+x,GE=8-x,CE=4,
在Rt△GCE中,GC2+CE2=GE2,即(4+x)2+42=(8-x)2,
解得x=
4 |
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4 |
3 |
看了如图,已知正方形ABCD,E为...的网友还看了以下:
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