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(1)问题发现如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由;(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45
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(1)问题发现
如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由;
(2)类比引申
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系___时,仍有EF=BE+DF;
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,猜想BD、DE、EC满足的等量关系,并写出推理过程.
如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由;
(2)类比引申
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系___时,仍有EF=BE+DF;
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,猜想BD、DE、EC满足的等量关系,并写出推理过程.
▼优质解答
答案和解析
(1)理由是:如图1,
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图1,
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
则∠DAG=∠BAE,AE=AG,
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF,
即∠EAF=∠FAG,
在△EAF和△GAF中,
,
∴△AFG≌△AFE(SAS),
∴EF=FG=BE+DF;
(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图2,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
在△AFE和△AFG中,
,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF,
故答案为:∠B+∠ADC=180°;
(3)BD2+CE2=DE2.
理由是:把△ACE旋转到ABF的位置,连接DF,
则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠CAE=45°,
又∵∠FAB=∠CAE,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
则在△ADF和△ADE中,
,
∴△ADF≌△ADE,
∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°,
∴∠BDF=90°,
∴△BDF是直角三角形,
∴BD2+BF2=DF2,
∴BD2+CE2=DE2.
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图1,
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
则∠DAG=∠BAE,AE=AG,
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF,
即∠EAF=∠FAG,
在△EAF和△GAF中,
|
∴△AFG≌△AFE(SAS),
∴EF=FG=BE+DF;
(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图2,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
在△AFE和△AFG中,
|
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF,
故答案为:∠B+∠ADC=180°;
(3)BD2+CE2=DE2.
理由是:把△ACE旋转到ABF的位置,连接DF,
则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠CAE=45°,
又∵∠FAB=∠CAE,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
则在△ADF和△ADE中,
|
∴△ADF≌△ADE,
∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°,
∴∠BDF=90°,
∴△BDF是直角三角形,
∴BD2+BF2=DF2,
∴BD2+CE2=DE2.
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