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已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y=x2-(b+10)x+c.(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式;(2)过点B作直线
题目详情
已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y=x2-(b+10)x+c.
(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=-2x+b的解析式.
(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=-2x+b的解析式.
▼优质解答
答案和解析
(1)直线y=-2x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴点A坐标为(
,0),点B坐标(0,b),
由题意知,抛物线顶点P坐标为(
,
),
∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上,且过点B,
解得b1=-10,c1=-10,b2=-6,c2=-6,
∴抛物线解析式为y=x2-10或y=x2-4x-6;
(2)∵点A坐标(
,0),点B坐标(0,b),
∴OA=|
|,OB=|b|,
又∵OA⊥OB,AB⊥BC,
∴△OAB∽△OBC
∴
=
∴OB2=OA•OC,
即b2=OC•|
|,
∴OC=
∵抛物线y=x2-(b+10)x+c的对称轴为x=
且抛物线对称轴过点C,
∴|
|=
.
(i)当b≤-10时,-
=-2b,
∴b=
(舍去)
经检验,b=
不合题意,舍去.
(ii)当-10≤b<0时,
=-2b,
∴b=-2,
(iii)当b>0时,
=2b,
∴b=
,
此时抛物线对称轴直线为x=-
=
>0,
BC与x轴的交点在x轴负半轴,
故不符合题意,舍去.
∴直线的解析式为y=-2x-2.
∴点A坐标为(
b |
2 |
由题意知,抛物线顶点P坐标为(
b+10 |
2 |
4c−(b+10)2 |
4 |
∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上,且过点B,
解得b1=-10,c1=-10,b2=-6,c2=-6,
∴抛物线解析式为y=x2-10或y=x2-4x-6;
(2)∵点A坐标(
b |
2 |
∴OA=|
b |
2 |
又∵OA⊥OB,AB⊥BC,
∴△OAB∽△OBC
∴
OB |
OC |
OA |
OB |
∴OB2=OA•OC,
即b2=OC•|
b |
2 |
∴OC=
2b2 |
|b| |
∵抛物线y=x2-(b+10)x+c的对称轴为x=
b+10 |
2 |
∴|
b+10 |
2 |
2b2 |
|b| |
(i)当b≤-10时,-
b+10 |
2 |
∴b=
10 |
3 |
经检验,b=
10 |
3 |
(ii)当-10≤b<0时,
b+10 |
2 |
∴b=-2,
(iii)当b>0时,
b+10 |
2 |
∴b=
10 |
3 |
此时抛物线对称轴直线为x=-
−(
| ||
2×1 |
20 |
3 |
BC与x轴的交点在x轴负半轴,
故不符合题意,舍去.
∴直线的解析式为y=-2x-2.
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