已知O点为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3．（1）求点C的坐标；（2）抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1∙x2<0，|x1|+|x2|=4

Question

已知O点为坐标原点，抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3．
（1）求点C的坐标；
（2）抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），x₁∙x₂<0，|x₁|+|x₂|=4．点A，C在直线y₂=-3x+t上．
①求该抛物线的顶点坐标；
②将抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）向左平移n（n>0）个单位，记平移后y随x的增大而增大的部分为P，直线y₂=-3x+t向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点，求2n²-5n的最小值．

Answer 1

（1）令x=0，则y=c，
故C（0，c），
∵OC的距离为3，
∴|c|=3，即c=±3，
∴C（0，3）或（0，-3）；

（2）∵x₁x₂<0，
∴x₁，x₂异号，
①若C（0，3），即c=3，
把C（0，3）代入y₂=-3x+t，则0+t=3，即t=3，
∴y₂=-3x+3，
把A（x₁，0）代入y₂=-3x+3，则-3x₁+3=0，
即x₁=1，
∴A（1，0），
∵x₁，x₂异号，x₁=1>0，∴x₂<0，
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1-x₂=4，
解得：x₂=-3，则B（-3，0），
代入y₁=ax²+bx+3得，

a+b+3=0

9a-3b+3=0

，
解得：

a=-1

b=-2

，
∴y₁=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点坐标是（-1，4）
则当x≤-1时，y随x增大而增大．
②若C（0，-3），即c=-3，
把C（0，-3）代入y₂=-3x+t，则0+t=-3，即t=-3，
∴y₂=-3x-3，
把A（x₁，0），代入y₂=-3x-3，
则-3x₁-3=0，
即x₁=-1，
∴A（-1，0），
∵x₁，x₂异号，x₁=-1<0，∴x₂>0
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1+x₂=4，
解得：x₂=3，则B（3，0），
代入y₁=ax²+bx+3得，

a-b-3=0

9a+3b-3=0

，
解得：

a=1

b=-2

，
∴y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标是（1，-4），
综上所述，若c=3，抛物线的顶点坐标是（-1，4）；
若c=-3，抛物线的顶点坐标是（1，-4）；

（3）①若c=3，则y₁=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，y₂=-3x+3，
y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=-（x+1+n）²+4，
y₂向下平移n个单位后，则解析式为：y₄=-3x+3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=-1-n，y₃≥y₄，
即-（-1-n+1+n）²+4≥-3（-1-n）+3-n，
解得：n≤-1，
∵n>0，∴n≤-1不符合条件，应舍去；
②若c=-3，则y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，y₂=-3x-3，
y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=（x-1+n）²-4，
y₂向下平移n个单位后，则解析式为：y₄=-3x-3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，y₃≤y₄，
即（1-n-1+n）²-4≤-3（1-n）-3-n，
解得：n≥1，
综上所述：n≥1，2n²-5n=2（n-(5)/(4)）²-(25)/(8)，
∴当n=

作业帮用户 2017-10-17 举报