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已知关于的方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+cx+d=0都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且ab=cd,则称它们互为“同根轮换方程”.如x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”.(1)若关于x
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已知关于的方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+cx+d=0都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且ab=cd,则称它们互为“同根轮换方程”.如x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”.
(1)若关于x的方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”,求m的值;
(2)若p是关于x的方程x2+ax+b=0(b≠0)的实数根,q是关于x的方程x2+2ax+
b=0的实数根,当p、q分别取何值时,方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+2ax+
b=0互为“同根轮换方程”,请说明理由.
(1)若关于x的方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”,求m的值;
(2)若p是关于x的方程x2+ax+b=0(b≠0)的实数根,q是关于x的方程x2+2ax+
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”,
∴4m=-6n.
设t是公共根,则有t2+4t+m=0,t2-6t+n=0.
解得,t=
.
∵4m=-6n.∴t=-
.
∴(-
)2+4(-
)+m=0.
∴m=-12.
(2)∵x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”,
它们的公共根是3.
而 3=(-3)×(-1)=-3×(-1).
又∵x2+x-6=0与x2+2x-3=0互为“同根轮换方程”.
它们的公共根是-3.
而-3=-3×1.
∴当p=q=-3a时,
有9a2-3a2+b=0.
解得,b=-6a2.
∴x2+ax-6a2=0,x2+2ax-3a2=0.
解得,p=-3a,x1=2a;q=-3a,x2=a.
∵b≠0,∴-6a2≠0,∴a≠0.
∴2a≠a.即x1≠x2.
又∵2a×
b=ab,…(6分)
∴方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+2ax+
b=0互为“同根轮换方程”.
∴4m=-6n.
设t是公共根,则有t2+4t+m=0,t2-6t+n=0.
解得,t=
n-m |
10 |
∵4m=-6n.∴t=-
m |
6 |
∴(-
m |
6 |
m |
6 |
∴m=-12.
(2)∵x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”,
它们的公共根是3.
而 3=(-3)×(-1)=-3×(-1).
又∵x2+x-6=0与x2+2x-3=0互为“同根轮换方程”.
它们的公共根是-3.
而-3=-3×1.
∴当p=q=-3a时,
有9a2-3a2+b=0.
解得,b=-6a2.
∴x2+ax-6a2=0,x2+2ax-3a2=0.
解得,p=-3a,x1=2a;q=-3a,x2=a.
∵b≠0,∴-6a2≠0,∴a≠0.
∴2a≠a.即x1≠x2.
又∵2a×
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∴方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+2ax+
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