如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l。带电量q>0，质量为m

Question

如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度 B 的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中 a 、 b 两点在同一水平线上，两点相距 l 。带电量 q>0 ，质量为 m 的质点 P ，以初速度 v 从 a 对准 b 射出。略去空气阻力，不考虑 P 与地面接触的可能性，设定 q 、 m 和 B 均为不可改取的给定量。  

 (1) 若无论 l 取什么值，均可使 P 经直线运动通过 b 点，试问 v 应取什么值 ? 

(2) 若 v 为 (1) 问可取值之外的任意值，则 l 取哪些值，可使 P 必定会经曲线运动通过 b 点 ? 

(3) 对每一个满足 (2) 问要求的 l 值，计算各种可能的曲线运动对应的 P 从 a 到 b 所经过的时间。

(4) 对每一个满足 (2) 问要求的 l 值，试问 P 能否从 a 静止释放后也可以通过 b 点 ? 若能，再求 P 在而后运动过程中可达到的最大运动速率 vmax 。  

Answer 1

解析：（ 1 ）要使 P 经直线运动通过 b 点，必有： mg=qvB ，

解得： v=mg/qB 。①

(2) 设质点速度为 v+ △ v ，质点所受洛伦兹力为 q(v+ △ v)B ，与重力合力为 mg+ q(v+ △ v)B= q △ vB ，所以质点的运动可视为沿 ab 连线方向做速度为 v 的匀速直线运动和速度为△ v 的圆周运动的合运动，要使质点通过 b 点， t=nT ，②

T= ，③

l =vt ，④

联立①②③④解得： l = 。（ n=1 2 3 4 ···）⑤⑤

（ 3 ）由②③解得： t= （ n=1 2 3 4 ···），

(4) 质点 P 从 a 静止释放后的运动可视为沿水平方向速度 v= mg/qB 的匀速直线运动和沿反方向的线速度 v= mg/qB 的匀速圆周运动，一个周期质点前进距离 L=vT= mg/qB · = 。

所以 P 从 a 静止释放后可以通过 b 点。

当质点做匀速圆周运动到最高点时运动速率最大，最大运动速率 vmax=2v=2mg/qB ，

【点评】此题采用递进式命题方式，从易到难。此题以带电质点在复合场中的运动切入，意在考查速度分解、带电质点的运动及其相关知识。