已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn-1（x）），n=2，3，4，…满足fn（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动

Question

已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=2，3，4，…满足f_n（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（　　）

A．2n个
B．2n²个
C．2（2ⁿ-1）个
D．2ⁿ个

Answer 1

函数f（x）=1-|2x-1|=

2x，0≤x≤(1)/(2)

2-2x，(1)/(2)＜x≤1

当x∈[0，(1)/(2)]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0，
当x∈（(1)/(2)，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=(2)/(3)，
∴f的1阶周期点的个数为2
当x∈[0，(1)/(4)]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x，解得x=0
当x∈（(1)/(4)，(1)/(2)]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x，解得x=(2)/(5)，
当x∈（(1)/(2)，(3)/(4)]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4x-2=x，解得x=(2)/(3)
当x∈（(3)/(4)，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x，解得x=(4)/(5)，
∴f的2阶周期点的个数为2²，
依此类推：
∴f的n阶周期点的个数为2ⁿ