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已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=lnx.(1)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立,求:实数a的取值范围;(2)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(0,12),证明:h(x1)-
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已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=lnx.
(1)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立,求:实数a的取值范围;
(2)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(0,
),证明:h(x1)-h(x2)>
-ln2.
(1)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立,求:实数a的取值范围;
(2)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(0,
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▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵f(x)=x2-ax,g(x)=lnx,
∴f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x>0},
∴f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立,即为x2-ax≥lnx对x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤x-
对x∈(0,+∞)恒成立,
设φ(x)=x-
,则a≤φ(x)min,
∴φ′(x)=
,
∵当x∈(0,1)时,φ′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0,
∴φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴当x=1时,φ(x)min=φ(1)=1,
∴实数a的取值范围为(-∞,1];
(Ⅱ)∵h(x)=f(x)+g(x)=x2-ax+lnx,
∴h′(x)=
,(x>0),
∵h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,
∴x1,x2为h′(x)=0的两个根,即2x2-ax+1=0的两个根,
∴x1x2=
,
∵x1∈(0,
),
∴x2∈(1,+∞),且axi=2
+1(i=1,2),
∴h(x1)-h(x2)=(
-ax1+lnx1)-(
-ax2+lnx2)
=(-
-1+lnx1)-(-
-1+lnx2)
=
-
+ln
=
-
-ln2
,(x2>1),
设u(x)=x2-
-ln2x2,x≥1,
∴u′(x)=
∴f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x>0},
∴f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立,即为x2-ax≥lnx对x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤x-
lnx |
x |
设φ(x)=x-
lnx |
x |
∴φ′(x)=
x2+lnx−1 |
x2 |
∵当x∈(0,1)时,φ′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0,
∴φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴当x=1时,φ(x)min=φ(1)=1,
∴实数a的取值范围为(-∞,1];
(Ⅱ)∵h(x)=f(x)+g(x)=x2-ax+lnx,
∴h′(x)=
2x2−ax+1 |
x |
∵h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,
∴x1,x2为h′(x)=0的两个根,即2x2-ax+1=0的两个根,
∴x1x2=
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2 |
∵x1∈(0,
1 |
2 |
∴x2∈(1,+∞),且axi=2
x | 2 i |
∴h(x1)-h(x2)=(
x | 2 1 |
x | 2 2 |
=(-
x | 2 1 |
x | 2 2 |
=
x | 2 2 |
x | 2 1 |
x1 |
x2 |
=
x | 2 2 |
1 | ||
4
|
x | 2 2 |
设u(x)=x2-
1 |
4x2 |
∴u′(x)=
(2x2
作业帮用户
2017-10-28
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