已知=(c,0),=(n,n),||的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:①||=||(a>c>0);②=λ(其中=(t),λ≠0,t∈R);③动点P的
①| |= | |(a>c>0);
② =λ (其中 =( t),λ≠0,t∈R);
③动点P的轨迹C经过点B(0,-1).
(1)求c的值;
(2)求曲线C的方程;
(3)是否存在方向向量为a 0 =(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且| |=| |?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)解法一:| |= ,当n= 时,| | min = =1,所以c= .
解法二:设G(x,y),则G在直线y=x上,所以| |的最小值为点F到直线y=x的距离,即 =1,得c= .
(2)∵ =λ (λ≠0) ∴PE垂直于直线x= 又| |= | |(a>c>0) ∴点P在以F为焦点,x= 为准线的椭圆上.设P(x,y),则有 | -x|,将点B(0,-1)代入,解得a= ,∴曲线C的方程为 +y 2 =1.
(3)假设存在方向向量为a 0 =(1,k)(k≠0)的直线l满足条件 则可设l:y=kx+m(k≠0),与椭圆 +y 2 =1联立,消去y得(1+3k 2 )x 2 +6kmx+3m 2 -3=0.由判别式Δ>0,可得m 2 <3k 2 +1.
①
设M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ),MN的中点P(x 0 ,y 0 ),由| |=| |,则有BP⊥MN.韦达式定理代入k BP =- ,可得到m= . ②
联立①②,可得到k 2 -1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1.
即存在k∈(-1,0)∪(0,1),使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且| |=| |.
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