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如图,直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点,抛物线与x轴交于A、B两点,其对称轴为直线x=1,且OA=OD.直线y=kx+c与x轴交于点C(点C在点B的右侧).则下列命题①abc>0,②3a+b>0
题目详情
如图,直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点,抛物线与x轴交于A、B两点,其对称轴为直线x=1,且OA=OD.直线y=kx+c与x轴交于点C(点C在点B的右侧).则下列命题①abc>0,②3a+b>0,③-1<k<0,④k>a+b,⑤ac+k>0.其中正确的是______.
▼优质解答
答案和解析
∵抛物线开口向上,
∴a>0.
∵抛物线对称轴是x=1,
∴b<0且b=-2a.
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0.
∴①abc>0错误;
②3a+b>0正确;
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限,
∴k<0.
∵OA=OD,
∴点A的坐标为(c,0).
直线y=kx+c当x=c时,y>0,
∴kc+c>0可得k>-1.
∴③-1<k<0正确;
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点
∴ax2+bx+c=kx+c,
得x1=0,x2=
.
由图象知x2>1,
∴
>1
∴k>a+b
∴④k>a+b正确;
∵
,
∴
.
又∵c<1,
∴ac<1.
∵-1<k<0,
∴0<ac+k<1.
∴⑤ac+k>0错误.
故答案为②③④.
∴a>0.
∵抛物线对称轴是x=1,
∴b<0且b=-2a.
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0.
∴①abc>0错误;
②3a+b>0正确;
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限,
∴k<0.
∵OA=OD,
∴点A的坐标为(c,0).
直线y=kx+c当x=c时,y>0,
∴kc+c>0可得k>-1.
∴③-1<k<0正确;
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点
∴ax2+bx+c=kx+c,
得x1=0,x2=
k−b |
a |
由图象知x2>1,
∴
k−b |
a |
∴k>a+b
∴④k>a+b正确;
∵
|
∴
|
又∵c<1,
∴ac<1.
∵-1<k<0,
∴0<ac+k<1.
∴⑤ac+k>0错误.
故答案为②③④.
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