设矩阵A属于R正定,求证：1、aii>0,i=1,2.n2、max[aii]>=max[aij]

Question

设矩阵A属于R正定,求证：1、aii>0,i=1,2.n 2、max[aii]>=max[aij]

Answer 1

由A是正定矩阵,那么存在非退化矩阵C使得：A=CC＇.那么a〔ij〕=∑c〔ik〕*c〔jk〕,（k从1到n）.a〔ii〕=∑c∧2〔ik〕（k从1到n）.从这里可看出a〔ii〕≥0.若a〔ii〕=0.则有c〔ik〕=0.k=1,2,…,n.从而矩阵C的第i行都是0,这与C非退化矛盾,从而a〔ii〕＞0,i=1,2,…,n.
再证明max（a〔ii〕）≥max（a〔ij〕）,首先令C〔i〕=（c〔i1〕,c〔i2〕,…,c〔in〕）,（i=1,2,…,n）即C的第i行行向量.由上面知道a〔ij〕=（C〔i〕,C〔j〕）这里是两向量C〔i〕与C〔j〕的内积,假设C〔m〕是C〔1〕,C〔2〕,…,C〔n〕这组向量中模最大的一个向量,那么有a〔mm〕=（C〔m〕,C〔m〕）≥（C〔i〕,C〔j〕）=a〔ij〕,从而得证（即正定矩阵的最大元一定在对角线上）