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已知调和函数u(x,y)=x^2-y^2+xy,求解析函数f(Z)=u(x,y)+iv(x,y),使f(0)=0
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已知调和函数u(x,y)=x^2-y^2+xy,求解析函数f(Z)=u(x,y)+iv(x,y),使f(0)=0
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答案和解析
设函数f（z）= u + iv的解析函数的柯西 - 黎曼方程知道
吗? V /? = - ? U /? Y =-X +2 Y;
? V /? Y =? U /? X = 2X + Y.
V = X ^ 2/2 +2 XY + Y ^ 2/2 + C,C是一个常数.
F（z）= u + iv的
= x ^ 2 + XY-Y ^ 2 +（-x ^ 2/2 +2 XY + Y ^ 2/2 + C） =（1-I / 2）（X ^ 2 +2 IXY-Y ^ 2）+ IC
=（1-I / 2）（X + IY）^ 2 + IC
=（ 1 - I / 2）Z ^ 2 + IC,
F（I）= -1 +我代给C = 1/2,
F（Z）= Z ^ 2 +（1-I / 2）I / 2
吗? V /? = - ? U /? Y =-X +2 Y;
? V /? Y =? U /? X = 2X + Y.
V = X ^ 2/2 +2 XY + Y ^ 2/2 + C,C是一个常数.
F（z）= u + iv的
= x ^ 2 + XY-Y ^ 2 +（-x ^ 2/2 +2 XY + Y ^ 2/2 + C） =（1-I / 2）（X ^ 2 +2 IXY-Y ^ 2）+ IC
=（1-I / 2）（X + IY）^ 2 + IC
=（ 1 - I / 2）Z ^ 2 + IC,
F（I）= -1 +我代给C = 1/2,
F（Z）= Z ^ 2 +（1-I / 2）I / 2
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