已知实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=5,求xy+yz+zx的最大值和最小值?

Question

已知实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=5,求xy+yz+zx的最大值和最小值?

Answer 1

方法一：
由柯西不等式,有：（xy＋yz＋zx）^2≦（x^2＋y^2＋z^2）（y^2＋z^2＋x^2）＝25,
∴－5≦xy＋yz＋zx≦5.
∴（xy＋yz＋zx）的最大值为5,最小值为－5.
方法二：
显然有：2（x^2＋y^2＋z^2）－2（xy＋yz＋zx）＝（x－y）^2＋（y－z）^2＋（z－x）^2≧0,
∴2×5－2（xy＋yz＋zx）≧0,∴xy＋yz＋zx≦5,∴（xy＋yz＋zx）的最大值为5.
显然还有：2（x^2＋y^2＋z^2）＋2（xy＋yz＋zx）＝（x＋y）^2＋（y＋z）^2＋（z＋x）^2≧0,
∴2×5＋2（xy＋yz＋zx）≧0,∴xy＋yz＋zx≧－5,∴（xy＋yz＋zx）的最小值是－5.