早教吧作业答案频道 -->其他-->
设A=(α1,α2,…,αr)是n×r矩阵,B=(β1,β2,…,βs)是n×s矩阵,rank(A)=r,rank(B)=s,证明若r+s>n,则必存在非零向量ξ,使得ξ既可由α1,α2,…,αr线性表示,又可由β1,β2,…
题目详情
设A=(α1,α2,…,αr)是n×r矩阵,B=(β1,β2,…,βs)是n×s矩阵,rank(A)=r,rank(B)=s,证明若r+s>n,则必存在非零向量ξ,使得ξ既可由α1,α2,…,αr线性表示,又可由β1,β2,…,βs线性表示.
▼优质解答
答案和解析
证明:由题意,设子空间
W1=L(α1,α2,…,αr),W2=L(β1,β2,…,βs)
则,由rank(A)=r,rank(B)=s,知
dim(W1)=r,dim(W2)=s,且dim(W1)+dim(W2)>n
∴dim(W1∩W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1+W2)=r+s-n>0
∴存在非零向量ξ∈W1∩W2
即存在非零向量ξ,使得ξ既可由α1,α2,…,αr线性表示,又可由β1,β2,…,βs线性表示.
W1=L(α1,α2,…,αr),W2=L(β1,β2,…,βs)
则,由rank(A)=r,rank(B)=s,知
dim(W1)=r,dim(W2)=s,且dim(W1)+dim(W2)>n
∴dim(W1∩W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1+W2)=r+s-n>0
∴存在非零向量ξ∈W1∩W2
即存在非零向量ξ,使得ξ既可由α1,α2,…,αr线性表示,又可由β1,β2,…,βs线性表示.
看了设A=(α1,α2,…,αr)...的网友还看了以下:
一道关于矩阵可逆性的证明题:n阶矩阵A,B和A+B都可逆,证明A^(-1)+B(-1)也可逆,并求 2020-04-05 …
A是n阶方阵,证明:A^2=I的充分必要条件是R(A-I)+R(A+I)=nRT,主要是充分性的证 2020-06-18 …
证r(AB)=r(A)的充要条件是矩阵B可逆如题!充分性会证明,必要性如何证? 2020-06-22 …
为什么证明奇偶性可以用特殊值,证明单调性必须取任意值为什么证明单调性的时候必须在定义域内任意取x1 2020-08-01 …
特征值和特征向量的性质证明?1:如何证明特征值的和等于方阵主对角线的和2:如何证明特征值的积等于方 2020-08-02 …
线性代数中线性设矩阵A与B行等价,即矩阵A经过初等行变换变成矩阵B,则矩阵B的每个行向量都是A的行 2020-08-02 …
矩阵随机向量期望性质证明性质如下:1、E(AX)=AE(X)2、E(AXB)=AE(X)B3、E(A 2020-10-31 …
下图是一个按照某种规则排列出来的三角形数阵假设第n行的第二个数为an(n≥2,n∈N*)(1)依次写 2020-11-20 …
多选:以下说法中正确的是().A、具有关联性的证据必然具有可采性B、具有可采性的证据必然具有关联多选 2021-01-04 …
半正定矩阵的充要条件的证明实半正定对称矩阵有一个充要条件是:A的所有主子式都大于等于零.该条件的必要 2021-01-08 …