在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=ex以及该曲线在x=2处的切线所围成图形的面积是（）A．e2B．e2-1C．12e2D．12e2-1

Question

在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=e^x以及该曲线在x=2处的切线所围成图形的面积是（　　）

A．e²
B．e²-1
C．(1)/(2)e²
D．(1)/(2)e²-1

Answer 1

∵y=e^x，
∴y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，切点坐标为（2，e²）
∴曲线y=e^x在x=2处的切线方程为y-e²=e²（x-2），即y=e²x-e²．
∴由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=e^x以及该曲线在x=1处的切线所围成图形的面积
S=

∫

1 0

e^xdx+

∫

2 1

(ex−e2x+e2)dx=ex

|

1 0

+(ex−(1)/(2)e2x2+e2x)

|

2 1

=e-1+e²-e−2e2+(1)/(2)e2+2e²-e²
=(1)/(2)e2−1．
故选：D．