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已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=2an,an≤182an-36,an>18(n=1,2,…),记集合M={an|n∈N*}.(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;(Ⅱ)如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所
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已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=
(n=1,2,…),记集合M={an|n∈N*}.
(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;
(Ⅱ)如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;
(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.
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(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;
(Ⅱ)如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;
(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)若a1=6,由于an+1=
(n=1,2,…),M={an|n∈N*}.
故集合M的所有元素为6,12,24;
(Ⅱ)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由an+1=
(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数.
如果k=1,M的所有元素都是3的倍数;
如果k>1,因为ak=2ak-1,或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数;于是ak-1是3的倍数;
类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数;
从而对任意n≥1,an是3的倍数;
综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则集合M的所有元素都是3的倍数
(Ⅲ)对a1≤36,an=
(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,an<36(n=2,3,…)
因为a1是正整数,a2=
,所以a2是2的倍数.
从而当n≥2时,an是2的倍数.
如果a1是3的倍数,由(Ⅱ)知,对所有正整数n,an是3的倍数.
因此当n≥3时,an∈{12,24,36},这时M的元素个数不超过5.
如果a1不是3的倍数,由(Ⅱ)知,对所有正整数n,an不是3的倍数.
因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32},这时M的元素个数不超过8.
当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32},有8个元素.
综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.
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故集合M的所有元素为6,12,24;
(Ⅱ)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由an+1=
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如果k=1,M的所有元素都是3的倍数;
如果k>1,因为ak=2ak-1,或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数;于是ak-1是3的倍数;
类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数;
从而对任意n≥1,an是3的倍数;
综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则集合M的所有元素都是3的倍数
(Ⅲ)对a1≤36,an=
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因为a1是正整数,a2=
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从而当n≥2时,an是2的倍数.
如果a1是3的倍数,由(Ⅱ)知,对所有正整数n,an是3的倍数.
因此当n≥3时,an∈{12,24,36},这时M的元素个数不超过5.
如果a1不是3的倍数,由(Ⅱ)知,对所有正整数n,an不是3的倍数.
因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32},这时M的元素个数不超过8.
当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32},有8个元素.
综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.
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