计算曲面积分I=∬S（3x+y+z12）dydz+（2y+cosz+x12）dzdx+（3z+ex+y12）dxdy，其中s是曲面|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1的外表面．

Question

计算曲面积分I=

∬

S

（3x+y+z¹²）dydz+（2y+cosz+x¹²）dzdx+（3z+e x+y12）dxdy，其中s是曲面|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1的外表面．

Answer 1

由题意，P_x+Q_y+R_z=3+2+3=8，设曲面S所围成的立体为V，则
由高斯公式，得
I=8

∫∫∫

V

dxdydz
作变换u=x-y+z，v=y-z+x，w=z-x+y，则
(∂(u，v，w))/(∂(x，y，z))=

.

(∂u)/(∂x)	(∂u)/(∂y)	(∂u)/(∂z)
(∂v)/(∂x)	(∂v)/(∂y)	(∂v)/(∂z)
(∂w)/(∂x)	(∂w)/(∂y)	(∂w)/(∂z)

.

=

.

1	-1	1
1	1	-1
-1	1	1

.

=4
∴雅可比行列式J=(∂(x，y，z))/(∂(u，v，w))=(1)/(4)
又积分立体区域V在此变换下，变为|u|+||v|+|w|=1所围成的立体V′，
这是一个以坐标原点为心的正八面体，其体积是第一卦限部分的八倍
∴I=8

∫∫∫

V′

(1)/(4)dudvdw=8•(1)/(4)•(1)/(3)•(1)/(2)•1•8=(8)/(3)