如图所示，由n=100片相同薄板叠放成的柱体A，放在水平面上，每一薄板均为正方形，边长为L=10cm，质量为m=0.1kg．所有接触面的动摩擦因数均为μ=0.09．重力加速度取g=10m/s2．试求：（1）若用

Question

如图所示，由n=100片相同薄板叠放成的柱体A，放在水平面上，每一薄板均为正方形，边长为L=10cm，质量为m=0.1kg．所有接触面的动摩擦因数均为μ=0.09．重力加速度取g=10m/s²．试求：

（1）若用力F₁直接把A的最上方薄板水平拉出，拉力F₁的范围；
（2）若用力F₂直接把A的最下方薄板水平拉出，拉力F₂的范围；
（3）现在用硬质薄尺快速击打最下面一片薄板，仅使它立即获得垂直于边长方向的水平速度，导致与A分离，在A的剩余部分静止后再按同样的要求击打第二次、第三次、…，直到各薄板全部分离为止，所有薄板获得的最小总动能之和是多少．（设A剩余部分仅在分离后才与桌面接触）

Answer 1

（1）第一薄片受第二薄片的摩擦力为：f₀=μmg
F₁-f₀>0
代入数据解出：F₁>0.09N 
（2）第100薄片上表面受摩擦力为：f₁=99μmg
下表面受摩擦力为：f₂=100μmg
由牛顿第二定律，拉力F₂应满足：F₂-f₁-f₂>ma₁
a₁是与A分离时A剩余部分的加速度为：a₁=μg，
代入数据解出：F₂>18N 
（3）第n薄片获速度最小v_n时，各层面摩擦因数均为μ，其余薄片相对静止．
A的剩余部分加速度为：a1=(μ(n-1)mg)/((n-1)m)=μg
第n薄片的加速度为：a2=(nμmg+μ(n-1)mg)/(m)=(2n-1)μg，
A做匀加速运动，第n薄片做匀减速运动，速度相同时历时为t，有：
v_n-a₂t=a₁t
与A分离的条件是：vnt-(1)/(2)a2t2≥(1)/(2)a1t2+L
联立求解得最小速度：vn=2√(nLμg)
同理得，第（n-1）薄片获最小速度：vn-1=2√((n-1)Lμg)
第（n-N） 薄片获最小速度：vn-N=2√((n-N)Lμg)
这样击打了99次，最后获动能之和最小值为：
Ek=(1)/(2)m(vn2+

v

2 n-1

+…+

v

2 n-N

)
代入数据得：E_k=90.882J
答：（1）若用力F₁直接把A的最上方薄板水平拉出，拉力F₁的范围为F₁>0.09N；
（2）若用力F₂直接把A的最下方薄板水平拉出，拉力F₂的范围为F₂>18N；
（3）现在用硬质薄尺快速击打最下面一片薄板，仅使它立即获得垂直于边长方向的水平速度，导致与A分离，在A的剩余部分静止后再按同样的要求击打第二次、第三次、…，直到各薄板全部分离为止，所有薄板获得的最小总动能之和是90.882J．