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已知数列具有性质P:对任意,,与两数中至少有一个是该数列中的一项,现给出以下四个命题:①数列0,1,3具有性质P;②数列0,2,4,6具有性质P;③若数列A具有性质P,则
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已知数列 具有性质P:对任意 , , 与 两数中至少有一个是该数列中的一项,现给出以下四个命题: ①数列0,1,3具有性质P; ②数列0,2,4,6具有性质P; ③若数列A具有性质P,则 ; ④若数列 具有性质P,则 其中真命题有
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已知数列 具有性质P:对任意 , , 与 两数中至少有一个是该数列中的一项,现给出以下四个命题: ①数列0,1,3具有性质P; ②数列0,2,4,6具有性质P; ③若数列A具有性质P,则 ; ④若数列 具有性质P,则 其中真命题有
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B |
分析:根据数列A:a 1 ,a 2 ,…,a n (0≤a 1 <a 2 <…<a n ,n≥3)具有性质P:对任意i,j(1≤i≤j≤n),a j +a i 与a j -a i 两数中至少有一个是该数列中的一项,逐一验证,可知①错误,其余都正确. ∵对任意i,j(1≤i≤j≤n),a j +a i 与a j -a i 两数中至少有一个是该数列中的项, ①数列0,1,3中,a 2 +a 3 =1+3=4和a 3 -a 2 =3-1=2都不是该数列中的数,故①不正确; ②数列0,2,4,6,a j +a i 与a j -a i (1≤i≤j≤3)两数中都是该数列中的项,并且a 4 -a 3 =2是该数列中的项,故②正确; ③若数列A具有性质P,则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项, ∵0≤a 1 <a 2 <…<a n ,n≥3, 而2a n 不是该数列中的项,∴0是该数列中的项, ∴a 1 =0;故③正确; ④∵数列a 1 ,a 2 ,a 3 具有性质P,0≤a 1 <a 2 <a 3 ∴a 1 +a 3 与a 3 -a 1 至少有一个是该数列中的一项,且a 1 =0, 1°若a 1 +a 3 是该数列中的一项,则a 1 +a 3 =a 3 , ∴a 1 =0,易知a 2 +a 3 不是该数列的项 ∴a 3 -a 2 =a 2 ,∴a 1 +a 3 =2a 2 2°若a 3 -a 1 是该数列中的一项,则a 3 -a 1 =a 1 或a 2 或a 3 ①若a 3 -a 1 =a 3 同1°, ②若a 3 -a 1 =a 2 ,则a 3 =a 2 ,与a 2 <a 3 矛盾, ③a 3 -a 1 =a 1 ,则a 3 =2a 1 综上a 1 +a 3 =2a 2 , 故选B. |
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