如图，已知AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，线段OP与弦BC垂直并相交于点D，OP与弧BC相交于点E，连接AC．（1）求证：∠PBC=∠BAC，且PB•AC=BA•CD；（2）若PB=10，sin∠P=35，求PE的长．

Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，线段OP与弦BC垂直并相交于点D，OP与弧BC相交于点E，连接AC．

（1）求证：∠PBC=∠BAC，且PB•AC=BA•CD；
（2）若PB=10，sin∠P=(3)/(5)，求PE的长．

Answer 1

（1）证明：∵PB是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PBO=90°，∠C=90°，
∴∠PBC+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠PBC=∠A，
又∵OP⊥BC，
∴∠BDP=∠C=90°，
∴△PBD∽△BAC，
∴BP：AB=BD：AC，
∵在⊙O中，BD⊥OD，
∴BD=CD，
∴BP：AB=CD：AC，
∴PB•AC=BA•CD；
（2）∵sinP=(3)/(5)，且BP=10，
∴(BD)/(BP)＝(3)/(5)，
∴BD=6，
∴BC=2BD=12，
∵在Rt△BDP中，PD=√(BP2−BD2)=8，
又∵△PBD∽△BAC，
∴BP：AB=PD：BC，
∴AB=15，
∴B0=OE=7.5，
在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP=12.5，
∴PE=OP-OE=12.5-7.5=5．