如图（1）所示，矩形ABCD中AC与BD交于O点，且P点为AD中点，PE⊥OA，PF⊥OD，AB=6cm，AD=8cm．（1）求出PE和PF的值；（提示：连接OP，利用中位线和面积来求）（2）若P点是AD边上任一点，其它条件

Question

如图（1）所示，矩形ABCD中AC与BD交于O点，且P点为AD中点，PE⊥OA，PF⊥OD，AB=6cm，AD=8cm．
（1）求出PE和PF的值；（提示：连接OP，利用中位线和面积来求）
（2）若P点是AD边上任一点，其它条件不变，如图（2），求出PE+PF的值．

Answer 1

就：（1）连接OP，如图（1）所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，CD=AB=6cm，OA=OC=OB=OD，AC=BD，
∴AC=√(CD2+AD2)=√(62+82)=10（cm），
∴OA=OD=5cm，
∵P点为AD中点，
∴OP是△ACD的中位线，
∴OP∥CD，OP=(1)/(2)CD=3cm，
∴∠OPD=90°，
∴OP⊥AD，
∴△AOD的面积=(1)/(2)AD×OP=(1)/(2)×8×3=12（cm²），
又∵△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=(1)/(2)OA×PE+(1)/(2)OD×PF=(1)/(2)（PE+PF）×5=12，
∴PE+PF=(24)/(5)（cm）；
（2）连接OP，如图（2）所示：
∵△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=(1)/(2)OA×PE+(1)/(2)OD×PF=(1)/(2)（PE+PF）×OA=(1)/(4)矩形ABCD的面积=(1)/(4)×8×6=12，
∴PE+PF=(24)/(5)cm，