如图，△ABC是等边三角形，P是AB上一点，Q是BC延长线上一点，AP=CQ．联结PQ交AC于D点．过P作PE∥BC，交AC于E点．（1）说明DE=DC的理由；（2）过点P作PF⊥AC于F，说明DF=12AC的理由．

Question

如图，△ABC是等边三角形，P是AB上一点，Q是BC延长线上一点，AP=CQ．联结PQ交AC于D点．过P作PE∥BC，交AC于E点．
（1）说明DE=DC的理由；
（2）过点P作PF⊥AC于F，说明DF=(1)/(2)AC的理由．

Answer 1

（1）∵PE∥BC，
∴∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°．
∴∠A=∠AEP．
∴AP=PE．
又∵AP=CQ，
∴PE=CQ．
在△EDP和△CDQ中

∠EDP＝∠CDQ

∠EPD＝∠O

PE＝PQ

，
∴△EDP≌△CDQ（AAS），
∴DE=DC；
（2）∵AP=PE，PF⊥AC，
∴EF=(1)/(2)AE．
∵DE=DC，且DE+DC=CE，
∴DE=(1)/(2)CE．
∴DF=EF+DE
=(1)/(2)AE+(1)/(2)CE
=(1)/(2)（AE+CE）
=(1)/(2)AC．