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如图,边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O,将△ABC绕圆心O沿顺时针方向旋转得到△A′B′C′,A′C′分别与AB、AC交于E、D两点,设旋转角为α(0°<α<360°).(1)当△A′B′C′与△ABC第一
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如图,边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O,将△ABC绕圆心O沿顺时针方向旋转得到△A′B′C′,A′C′分别与AB、AC交于E、D两点,设旋转角为α(0°<α<360°).
(1)当△A′B′C′与△ABC第一次完全重合时,α=______°.
(2)当α=60°时,(如图1),则该图形______.
A.是中心对称图形,但不是轴对称图形
B.是轴对称图形,但不是中心对称图形
C.既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形,又不是中心对称图形
(3)如图2,当0°<α<120°时,△ADE的周长是否会发生变化?若会变化,请说明理由;若不会变化,请直接写出它的周长(不需要证明).
(1)当△A′B′C′与△ABC第一次完全重合时,α=______°.
(2)当α=60°时,(如图1),则该图形______.
A.是中心对称图形,但不是轴对称图形
B.是轴对称图形,但不是中心对称图形
C.既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形,又不是中心对称图形
(3)如图2,当0°<α<120°时,△ADE的周长是否会发生变化?若会变化,请说明理由;若不会变化,请直接写出它的周长(不需要证明).
▼优质解答
答案和解析
(1)连接OC、OA,如图1,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠AOC=2∠ABC=120°,
∴当△A′B′C′与△ABC第一次完全重合时,α=120°;
故答案为120;
(2)当α=60°时,点A、A′、B、B′、C、C′为⊙O的6等份点,所有的三角形都是等边三角形,
所有该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
故选C;
(3)△ADE的周长为2.
连接OC、OC′、OA、OA′、AA′、AC′,如图2,
∵等边三角形△ABC绕圆心O沿顺时针方向旋转α得到△A′B′C′,
∴∠COC′=∠AOA′=α,AB=A′C′=2,
∴
=
,
∴∠A′C′A=∠CAC′,
∴EC′=EA,
∵AB=A′C′,
∴
=
,
∴
-
=
-
,即
=
,
∴∠A′AB=∠AA′C′,
∴DA=DA′,
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=DA′+DE+EC′=A′C′=2.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠AOC=2∠ABC=120°,
∴当△A′B′C′与△ABC第一次完全重合时,α=120°;
故答案为120;
(2)当α=60°时,点A、A′、B、B′、C、C′为⊙O的6等份点,所有的三角形都是等边三角形,
所有该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
故选C;
(3)△ADE的周长为2.
连接OC、OC′、OA、OA′、AA′、AC′,如图2,
∵等边三角形△ABC绕圆心O沿顺时针方向旋转α得到△A′B′C′,
∴∠COC′=∠AOA′=α,AB=A′C′=2,
∴
AA′ |
CC′ |
∴∠A′C′A=∠CAC′,
∴EC′=EA,
∵AB=A′C′,
∴
AB |
A′C′ |
∴
AB |
AA′ |
A′C′ |
AA′ |
BA′ |
AC′ |
∴∠A′AB=∠AA′C′,
∴DA=DA′,
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=DA′+DE+EC′=A′C′=2.
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