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如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.(1)求证:△ACD≌△CBF;(2)点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.

题目详情
如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.

(1)求证:△ACD≌△CBF;
(2)点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)由△ABC为等边三角形,AC=BC,∠FBC=∠DCA,
在△ACD和△CBF中,
AC=BC
∠DCA=∠FBC
CD=BF

所以△ACD≌△CBF(SAS);
(2)当D在线段BC上的中点时,四边形CDEF为平行四边形,且角DEF=30度
按上述条件作图,
连接BE,

在△AEB和△ADC中,
AB=AC,∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°,即∠EAB=∠DAC,AE=AD,
∴△AEB≌△ADC(SAS),
又∵△ACD≌△CBF,
∴△AEB≌△ADC≌△CFB,
∴EB=FB,∠EBA=∠ABC=60°,
∴△EFB为正三角形,
∴EF=FB=CD,∠EFB=60°,
又∵∠ABC=60°,
∴∠EFB=∠ABC=60°,
∴EF∥BC,
而CD在BC上,∴EF平行且相等于CD,
∴四边形CDEF为平行四边形,
∵D在线段BC上的中点,
∴F在线段AB上的中点,
∴∠FCD=
1
2
×60°=30°
则∠DEF=∠FCD=30°.