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(2006•成都)已知:如图,在正方形ABCD中,AD=12,点E是边CD上的动点(点E不与端点C,D重合),AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G,交AB的延长线于点P.(1)设DE=m(0<m<12),
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(2006•成都)已知:如图,在正方形ABCD中,AD=12,点E是边CD上的动点(点E不与端点C,D重合),AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G,交AB的延长线于点P.
(1)设DE=m(0<m<12),试用含m的代数式表示的值;
(2)在(1)的条件下,当时,求BP的长.
(1)设DE=m(0<m<12),试用含m的代数式表示的值;
(2)在(1)的条件下,当时,求BP的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)通过构建相似三角形来求解,过点H作MN∥AB,分别交AD,BC于M,N两点.那么MH就是三角形ADE的中位线,MH=m,那么HN=12-m,只要证出两三角形相似,就可表示出FH:HG的值,已知了一组对顶角,一组直角,那么两三角形就相似,FH:HG=MH:NH,也就能得到所求的值.
(2)可通过构建相似三角形求解,过点H作HK⊥AB于点K,那么HN=KB,MH=AK,根据FH:HG=1:2,就能求出m的值,也就求出了MH,HN的长,又知道了HK的长,那么通过三角形AKH和HKP相似我们可得出关于AK,KH,KP的比例关系,就可求出KP的长,然后BP=KP-KB就能求出BP的长了.
【解析】
(1)过点H作MN∥AB,分别交AD,BC于M,N两点,
∵FP是线段AE的垂直平分线,
∴AH=EH,
∵MH∥DE,
∴Rt△AHM∽Rt△AED,
∴==1,
∴AM=MD,即点M是AD的中点,
∴AM=MD=6,
∴MH是△ADE的中位线,MH=DE=m,
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABNM是矩形,
∵MN=AD=12,
∴HN=MN-MH=12-m,
∵AD∥BC,
∴Rt△FMH∽Rt△GNH,
∴,
即(0<m<12);
(2)过点H作HK⊥AB于点K,则四边形AKHM和四边形KBNH都是矩形.
∵,
解得m=8,
∴MH=AK=m=8=4,HN=KB=12-m=12-8=8,KH=AM=6,
∵Rt△AKH∽Rt△HKP,
∴,即KH2=AK•KP,
又∵AK=4,KH=6,
∴62=4•KP,解得KP=9,
∴BP=KP-KB=9-8=1.
(2)可通过构建相似三角形求解,过点H作HK⊥AB于点K,那么HN=KB,MH=AK,根据FH:HG=1:2,就能求出m的值,也就求出了MH,HN的长,又知道了HK的长,那么通过三角形AKH和HKP相似我们可得出关于AK,KH,KP的比例关系,就可求出KP的长,然后BP=KP-KB就能求出BP的长了.
【解析】
(1)过点H作MN∥AB,分别交AD,BC于M,N两点,
∵FP是线段AE的垂直平分线,
∴AH=EH,
∵MH∥DE,
∴Rt△AHM∽Rt△AED,
∴==1,
∴AM=MD,即点M是AD的中点,
∴AM=MD=6,
∴MH是△ADE的中位线,MH=DE=m,
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABNM是矩形,
∵MN=AD=12,
∴HN=MN-MH=12-m,
∵AD∥BC,
∴Rt△FMH∽Rt△GNH,
∴,
即(0<m<12);
(2)过点H作HK⊥AB于点K,则四边形AKHM和四边形KBNH都是矩形.
∵,
解得m=8,
∴MH=AK=m=8=4,HN=KB=12-m=12-8=8,KH=AM=6,
∵Rt△AKH∽Rt△HKP,
∴,即KH2=AK•KP,
又∵AK=4,KH=6,
∴62=4•KP,解得KP=9,
∴BP=KP-KB=9-8=1.
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