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设a,b均为正数,(Ⅰ)求证:ab≥21a+1b;(Ⅱ)如果依次称a+b2、ab、21a+1b分别为a,b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数.如右图,C为线段AB上的点,令AC=a,CB=b,O为AB的垂线交半
题目详情
设a,b均为正数,
(Ⅰ)求证:
≥
;
(Ⅱ)如果依次称
、
、
分别为a,b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数.如右图,C为线段AB上的点,令AC=a,CB=b,O为AB的垂线交半圆于D.连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,请分别用图中线段的长度来表示a,b两数的几何平均数和调和平均数,并说明理由.
(Ⅰ)求证:
ab |
2 | ||||
|
(Ⅱ)如果依次称
a+b |
2 |
ab |
2 | ||||
|
▼优质解答
答案和解析
(I)证明:由于a,b均为正数,根据基本不等式,可得
≥
=
,即
≥
,
当且仅当a=b时,等号成立.
(II)在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得CD2=AC•CB,
∴CD=
,即CD长度为a,b的几何平均数,
在直角三角形OCD中,由射影定理可得CD2=DE•OD,
∴DE=
=
=
,由DC≥DE,得
≥
| ||||
2 |
|
1 | ||
|
ab |
2 | ||||
|
当且仅当a=b时,等号成立.
(II)在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得CD2=AC•CB,
∴CD=
ab |
在直角三角形OCD中,由射影定理可得CD2=DE•OD,
∴DE=
DC2 |
OD |
ab | ||
|
2 | ||||
|
ab |
作业帮用户
2016-11-29
看了 设a,b均为正数,(Ⅰ)求证...的网友还看了以下:
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