x2-5x+6=0能给出十字相乘法的具体步骤吗

Question

x2-5x+6=0
能给出十字相乘法的具体步骤吗

Answer 1

1,最方便的解法--分解因式
想办法把2次多项式分解成2个1次多项式的乘积,这样就能把2次方程的求根问题转化成2个1次方程的求根问题.
这道题,方程的系数都是整数,可以利用十字交叉法得到分解.
1 2
1 3
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0
得根,x_1 = 2; x_2 = 3
2,最通用的解法--2次方程求根公式
比如,对方程
ax^2 + bx + c = 0,a,b,c都是实常数.
来说,
如果 a = 0,方程就变成了一个1次方程.这个时候,只要b不等于0,方程就有唯一的根 x = -c/b.
如果 a = 0,b 也等于0.这个时候,只要 c 不等于 0,方程就没有根.
如果 a = b = 0,c 也等于0.这个时候,方程有无穷多个根,任何实数都是这个方程的根.
当a不等于0的时候,这个方程就是一个标准的2次方程.有一个定理说,只要根据2次方程的系数都能判断出2次方程是否存在根,如果存在根的话,还能给出根的表达式.具体来说,对于方程
ax^2 + bx + c = 0 [a,b,c都是实常数,并且a不等于0]
来说,要先计算一个数[叫 德尔塔],把这个数记为 D.
D = b^2 - 4ac
如果 D < 0,方程没有实数根.
如果 D = 0,方程有2个相等的实数根.
如果 D > 0,方程有2个不相等的实数根.
当 D >= 0 时,记 D 的平方根为 d,那么,方程的2个根为
x_1 = (-b-d)/(2a); x_2 = (-b+d)/(2a).
从上面可以看出,当d=0时,这2个根相同,都等于-b/(2a).
从这个公式还可以发现一个好玩的东西：
如果2次方程有实根,那么,
(1) 这2个根的和 等于 -b/a.
(2) 这2个根的乘积 等于 c/a.
[这个好玩的东西就是十字交叉法的依据.]
就这道题来说,
D = 5^2 - 4*6 = 1 > 0,d = 1.
因此,有2根.
x_1 = (5 - 1)/2 = 2; x_2 = (5 + 1)/2 = 3.
[可以顺便检验一下那个好玩的结论：2根之和等于5,2根之积等于6.]
3,其他解法--配方
配方是分解因式的一种通用方法,希望能把2次方程写成
a[(x + f)^2 - g^2] = 0
的形式.其中,f,g都是实常数.
写成上面的形式以后,2次方程就可以因式分解成
a(x + f + g)(x + f - g) = 0
得2根
x_1 = -f-g; x_2 = -f+g.
下面来看,怎样从ax^2 + bx + c = 0 [a,b,c都是实常数,并且a不等于0] 出发来配方.
（1）先把a提出来.
方程写成 a[x^2 + (b/a)x + (c/a)] = 0.
为方便,记 f = b/(2a),v = c/a.[f,v也都是实常数]
这样,方程可以写成 a[x^2 + 2fx + v] = 0
(2) 配方.
把括号里面配成x和一个实常数的和的平方,再减去一个实常数的形式.因为 (x + f)^2 = x^2 + 2fx + f^2,
所以,方程可以写成
a[x^2 + 2fx + f^2 - f^2 + v] =
a{(x + f)^2 - [f^2 - v] } = 0.
记 G = f^2 - v,G为一个实常数.
如果 G 小于0,方程没有实根.
当 G 大于或者等于0时,方程有2个实根,记 G 的平方根为 g,方程可以写成
a[{(x + f)^2 - g^2] = 0
进一步,方程可以写成
a[(x + f) + g][(x + f) - g] =
= a(x + f + g)(x + f - g) = 0.
从而,得2根
x_1 = -f-g; x_2 = -f+g.
就这道题而言,
x^2 - 5x + 6 = x^2 - 5x + 25/4 - 1/4 =
= (x - 5/2)^2 - (1/2)^2 =
= (x - 5/2 + 1/2)(x - 5/2 - 1/2) = (x - 2)(x - 3)
= 0
得2根
x_1 = 2; x_2 = 3.