f（x）在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f（0）=0（1）写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明在[-a，a]上至少存在一点η，使a3f″(η)＝3∫a−af(x)dx．

Question

f（x）在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f（0）=0
（1）写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
（2）证明在[-a，a]上至少存在一点η，使a3f″(η)＝3

∫

a  −a

f(x)dx．

Answer 1

（1）直接套用公式可得：
f（x）=f（0）+f′（0）x+(1)/(2!)f′(0)+… + (1)/(n!)f(n)(0)+(f(n+1)(ξ))/((n+1))，
其中 ξ 在0和x之间．

（2）
由（1）可得：

∫

a −a

f(x)dx=

∫

a −a

f′(0)xdx+

∫

a −a

(x2)/(x!)f″(ξ)dx
=

∫

a −a

(x2)/(x!)f″(ξ)dx，
因为f（x）在[-a，a]上具有二阶联系偏导数

∫

a −a

f′(0)xdx，
故f″（x）具有最大值和最小值，
设f″（x）最大值为M，最小值为m，
则 m≤f″（ξ）≤M，
所以：
(m)/(2)

∫

a −a

x2dx ≤

∫

a −a

f(x)dx=(1)/(2)

∫

a −a

x2f″(ξ)dx≤(M)/(2)

∫

a −a

x2dx，
即：(ma3)/(3)≤

∫

a −a

f(x)dx≤(Ma3)/(3)，
即：m≤(3)/(a3)

∫

a −a

f(x)dx≤M，
因为 f″（x）连续，
由连续函数的介值定理可得，至少存在一点η∈[-a，a]，使得：
f″（η）=(3)/(a3)

∫

a −a

f(x)dx，
即：a3f″(η) ＝ 3

∫

a −a

f(x)dx．