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(2007•南京)在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P′在线段OP或其延长线上;接着将
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(2007•南京)在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P′在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.
(1)填空:
①如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(______,______);
②如图2,△ABC是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(,90°),得到△ADE,则线段BD的长为______cm;
(2)如图3,分别以锐角三角形ABC的三边AB,BC,CA为边向外作正方形ADEB,BFGC,CHIA,点O1,O2,O3分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用△AO1O3与△ABI,△CIB与△CAO2之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系.
(1)填空:
①如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(______,______);
②如图2,△ABC是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(,90°),得到△ADE,则线段BD的长为______cm;
(2)如图3,分别以锐角三角形ABC的三边AB,BC,CA为边向外作正方形ADEB,BFGC,CHIA,点O1,O2,O3分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用△AO1O3与△ABI,△CIB与△CAO2之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)①依题意已知1中△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,故可得A的坐标.
②已知2中△ABC旋转相似变换A(,90°),得到△ADE,可推出∠BAD=90°,利用勾股定理可求出BD的值.
(2)依题意可得△AO1O3经过旋转相似变换A(,45°),得到△ABI,故线段O1O3变为线段BI;△CIB经过旋转相似变换C(,45°),得到△CAO2,此时,线段BI变为线段AO2,易得其关系.
【解析】
(1)这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.已知1中△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,故可得A(2,60°).
依题意:①2,60°;
②已知2中△ABC旋转相似变换A(,90°),得到△ADE以及AD=,
可推出∠BAD=90°,
利用勾股定理可求出BD=2;
(2)△AO1O3经过旋转相似变换A(,45°),得到△ABI,此时,线段O1O3变为线段BI;
△CIB经过旋转相似变换C(,45°),得到△CAO2,此时,线段BI变为线段AO2.
∵,45°+45°=90°
∴O1O3=AO2,O1O3⊥AO2.
②已知2中△ABC旋转相似变换A(,90°),得到△ADE,可推出∠BAD=90°,利用勾股定理可求出BD的值.
(2)依题意可得△AO1O3经过旋转相似变换A(,45°),得到△ABI,故线段O1O3变为线段BI;△CIB经过旋转相似变换C(,45°),得到△CAO2,此时,线段BI变为线段AO2,易得其关系.
【解析】
(1)这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.已知1中△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,故可得A(2,60°).
依题意:①2,60°;
②已知2中△ABC旋转相似变换A(,90°),得到△ADE以及AD=,
可推出∠BAD=90°,
利用勾股定理可求出BD=2;
(2)△AO1O3经过旋转相似变换A(,45°),得到△ABI,此时,线段O1O3变为线段BI;
△CIB经过旋转相似变换C(,45°),得到△CAO2,此时,线段BI变为线段AO2.
∵,45°+45°=90°
∴O1O3=AO2,O1O3⊥AO2.
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