对于任意二事件A和B，0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，ρ=P(AB)-P(A)P(B)P(A)P(B)P(.A)P(.B)称做事件A和B的相关系数．（1）证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零；（2）利用随机变量相关

Question

对于任意二事件A 和B，0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，ρ=(P(AB)-P(A)P(B))/(√(P(A)P(B)P(.A)P(.B)))称做事件A和B的相关系数．
（1）证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零；
（2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明|ρ|≤1．

Answer 1

（1）
由ρ的定义，可见ρ=0当且仅当P（AB）-P（A）P（B）=0，
而这恰好是二事件A和B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件．

（2）
考虑随机变量X和Y：
X=

1，若A出现

0，若A不出现

   Y=

1，若B出现

0，若B不出现

，
由条件知，X和Y都服从0-1分布：
X～

0	1
1-P(A)	P(A)

，Y～

0	1
1-P(B)	P(B)

，
易见：E（X）=P（A），E（Y）=P（B）；
DX=P(A)P(

.

A

)，DY=P(B)P(

.

B

)；
COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=P（AB）-P（A）P（B），
因此，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数．
于是：ρXY=(COV(X，Y))/(作业帮用户2017-10-02问题解析（1）利用事件A和B独立的定义P（AB）=P（A）P（B）即可；（2）随机变量X和Y的相关系数为ρXY，而需将ρ=(P(AB)-P(A)P(B))/(√(P(A)P(B)P(.A)P(.B)))转化为用随机变量表示，显然，若有E（XY）=P（AB），E（X）=P（A），E（Y）=P（B）以及√(DX)=√(P(A)P(.A))，√(DY)=√(P(B)P(.B))即可，所以只需考虑X=1，若A出现0，若A不出现Y=1，若B出现0，若B不出现名师点评本题考点：相关系数的性质．考点点评：本题主要考查相关系数性质与概率的结合，如上0-1分布与随机事件之间的关系值得注意，较好地将两者联系起来了，为借助相互的性质提供了便利．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)